Анна Ивановна родилась 21 февраля 1912 г. в г. Егорьевск Рязанской губернии (ныне Московская область). В 1928 г. она поступила в школу фабрично-заводского обучения при текстильной фабрике «Вождь Пролетариата». Окончив школу, в 1930 г., устроилась банкаброшницей (ровничницей) на фабрику. В 1931 г. Рычкова поступила на прядильное отделение Московского текстильного техникума им. М.С. Токарева. Получив специальность техника по хлопкопрядению, в 1934 г., Анна Ивановна была направлена на фабрику «Пролетарский Авангард» в г. Вышний Волочек Калининской области, где она начала работать в должности ремонтировщика, и дошла до заместителя директора фабрики.
В первые месяцы Великой Отечественной войны 1941-1945 гг. фабрика «Пролетарский Авангард» была демонтирована и подготовлена к эвакуации в три города, одним из которых был г. Чебоксары. В сентябре 1941 г. А. Рычкова, как уполномоченный эшелона с перевозимым оборудованием и материальными ценностями фабрики, прибыла в г. Чебоксары, где на базе эвакуированного текстильного оборудования была организована Чебоксарская хлопчатобумажная прядильно-ткацкая фабрика. С первых дней Анна Ивановна работала в должности заведующей лабораторией и отвечала за монтаж оборудования прядильной фабрики. В августе 1942 г., по окончании монтажа прядильной фабрики, она стала заведовать прядильным производством. Работала в должности начальника отдела технического контроля и одновременно возглавляла лабораторию фабрики. Немало внесла рационализаторских предложений по улучшению технологического процесса, много сил и энергии отдавала обучению молодых работниц.
В 1953 г. ее назначили директором Чебоксарской швейной фабрики им. Ленина, которую она возглавляла 11 лет. В 1964 г. Анна Ивановна вернулась на Чебоксарский хлопчатобумажный комбинат, где проработала до 1967 г. в должности заместителя начальника цеха и старшим мастером на прядильных фабриках комбината.
Еще в г. Егорьевск началась активная общественная жизнь Рычковой. Здесь она избиралась кандидатом пленума райкома комсомола и членом пленума райсовета профсоюза. Будучи студенткой, в 1932 г., она была принята в члены ВКП(б). Активно участвовала Анна Ивановна в общественной жизни прядильной фабрики г. Чебоксары, являлась членом партийного бюро, в 1943-1946 гг. – членом ревизионной комиссии Чебоксарского горкома ВКП(б). В 1955 г. и 1959 г. она избиралась депутатом Чебоксарского городского Совета депутатов трудящихся, в 1957 г., 1958 г., 1960 г. – членом Чебоксарского горкома КПСС. На заслуженном отдыхе А. Рычкова продолжала активно участвовать в общественной жизни комбината, много лет была активным членом Совета ветеранов Чебоксарского хлопчатобумажного комбината.
За выдающуюся ударную работу она была награждена медалями «За трудовое отличие», «За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.», значком «Отличник социалистического соревнования Наркомата текстильной промышленности СССР», Почетной грамотой Президиума Верховного Совета Чувашской АССР, ведомственными почетными грамотами. За долголетний и добросовестный труд награждена медалью «Ветеран труда». Почти 60 лет Анна Ивановна являлась членом КПСС, за что была награждена памятным знаком «50 лет пребывания в КПСС».
29 июня 2002 г. Анна Ивановна Рычкова скончалась.